บทท 4 ต วแบบการมอบหมายงาน (Assignment Model)

Transcription

1 บทท ต วแบบการมอบหมาย (Assigmet Model) ต วแบบการมอบหมาย เป นต วแบบท ใช ในแก ป ญหาการมอบหมายให ก บ พน ก หร อจ ดเพ อไปท าท เคร องจ กร หร อป ญหาอ น ๆ ท ม ล กษณะเหม อนก น ต วแบบการ มอบหมายน เป นแบบท ม ต องท าอย m ช น และพน กอย คน ท งน ม ข อจ าก ดว า แต ละ ช นจะมอบหมายให พน กเพ ยงคนเด ยวเท าน น และพน กแต ละคนก จะได ร บมอบหมายได เพ ยงเด ยวเช นก น ถ าก าหนดให c ij ค อค าใช จ ายในการมอบหมายช นท i, i =,,, m ให ก บ พน กท j, j =,,, ด งน นป ญหาของต วแบบค อจะมอบหมายช นใดให ก บพน กคนใด โดยท ค าใช จ ายรวมท งหมดม ค าน อยท ส ด ถ าก าหนดให x ij = 0 ถ าช นท ถ าช นท i i ไม ได ถ กมอบหมายให พน กคนท ถ กมอบหมายให พน กคนท j j โดยท i =,,, m และ j =,,, ด งน นต วแบบคณ ตศาสตร ของการมอบหมายน ค อ m การหาค าน อยท ส ด Z = ภายใต ข อจ าก ด j m i c ij x ij i j x ij =, i =,,, m x ij =, j =,,, x ij = 0 หร อ

2 75 จะเห นได ว าต วแบบการมอบหมายน เป นต วแบบการโปรแกรมเช งเส นแบบหน ง และ ย งเม อพ จารณาต วแบบของน ในร ปแบบของตาราง ซ งแสดงในตารางท. จะเห นได ว าต วแบบน ก เป น ต วแบบการขนส งน นเอง โดยท และพน กท จะมอบหมายน นเปร ยบได ก บต นทางและ ปลายทางของการขนส ง ส วนค าใช จ ายในการมอบหมายเปร ยบได ก บค าใช จ ายในการขนส ง ท งน จ านวนในแต ละต นทางและจ านวนพน กในแต ละปลายทางม ค าเป นหน งเสมอ ในข นตอนการหาค าตอบของต วแบบการมอบหมายน เน องจากว าต วแบบน สามารถ พ จารณาได ว าเป นกรณ พ เศษแบบหน งของต วแบบการขนส ง ด งน นหล กการในการหาค าตอบจะม แนวทางคล าย ๆ ก น กล าวค อถ าต วแบบไม อย ในล กษณะสมด ล (จ านวนไม เท าก บจ านวน พน ก) ก จ าเป นท จะต องท าต วแบบน ให สมด ลเส ยก อน ซ งอาจเป นการเพ มสมม ต (Fictitious Jobs) หร อเพ มพน กสมม ต (Fictitious Workers) อย างใดอย างหน ง ตารางท. ต วแบบการมอบหมาย พน ก c c c.. c c c m c m c m c m อย างไรก ตามในข นตอนการหาค าตอบของต วแบบ จะเห นได ว าถ าเราใช ข นตอนว ธ ท ใช ในต วแบบการขนส งมาใช จะต องม ต วแปรเบส กบางต วม ค าเป นศ นย ซ งเป นการเก ดด เจเนเรซ และย ง ผลท าให การหาค าตอบม ความซ บซ อน และย งยากมากข น จ งได ม การค นค ดเทคน คหร อว ธ การท จะ น ามาใช ในการหาค าตอบของต วแบบการมอบหมายน โดยเฉพาะ ด งจะได กล าวต อไป

3 76. ข นตอนการหาค าตอบท ด ท ส ด ในต วแบบการมอบหมายท สมด ล ค อจ านวนเท าก บก บจ านวนพน ก (ถ าไม สมด ลก ท าให สมด ลเส ยก อน) การหาค าตอบท ด ท ส ดสามารถหาได โดยใช ว ธ ฮ งกาเร ยน (Hugaria Method) ซ งแนวความค ดของว ธ น ค อ ถ าน าค าคงท ไปบวกหร อลบก บค าท กค าในแถว หร อหล กของ ตารางของต วแบบการมอบหมาย ค าตอบท ด ท ส ดของต วแบบก จะย งคงเด ม ถ าให p i เป นค าคงท ท น าไปลบก บค าใช จ ายในแถว q j เป นค าคงท ท น าไปลบก บค าใช จ ายในหล ก จะได ว าแต ละค าของ c ij เปล ยนแปลงเป น c ij - p i - q j จาก ให i j i j (c ij - p i - q j ) x ij = i j = i j = i j ซ งจะเห นได ว า ค าของ x ij ท ท าให c ij x ij น นเป นค าเด ยวก น i j c ij x ij - i p i j c ij x ij - i c ij x ij - ค าคงท x ij - p i () - q j j i j q j () (c ij - p i - q j ) x ij ม ค าน อยท ส ด ก บค าของ x ij ท ท า x ij ว ธ ฮ งกาเร ยน ม ข นตอนด งน ข นตอนท น าค าท น อยท ส ดในแต ละแถวของตารางค าใช จ าย ลบค าใช จ ายแต ละต วในแถวน น ข นตอนท น าค าท น อยท ส ดในแต ละหล กของตารางค าใช จ าย ลบค าใช จ ายแต ละหล กในหล กน น ข นตอนท มอบหมายให ก บพน กในต าแหน งท ม ค าใช จ ายเป นศ นย และน นจะเป นค าตอบท ด ท ส ดของต วแบบ

4 77 ต วอย างท. บร ษ ทแห งหน งม พ เศษอย ช น ท จะมอบให พน ก คนไปท า ซ งค าใช จ าย (หน วยเป นพ นบาท) ในการท าแต ละช นส าหร บพน กแต ละคน แสดงในตารางต อไปน พน ก จงหาว าควรจะมอบหมายอย างไรให ก บพน ก โดยให ค าใช จ ายท งหมดม ค าน อยท ส ด ว ธ ท า โดยใช ว ธ ฮ งกาเร ยน เม อน าเอาค าท น อยท ส ดในแต ละแถว ลบออกจากค าใช จ ายท กต วในแต ละ แถวจะได ด งน พน ก p = 0 p = 5 p = จากน นน าเอาค าท น อยท ส ดในแต ละหล กลบออกจากค าใช จ ายท กต วในแต ละหล ก ซ งได ด งน พน ก q = q = 0 q = 0 q = ซ งเม อพ จารณาค าตอบท ด ท ส ดจากต าแหน งท ม ค าใช จ ายเป นศ นย น น จะได ว าจะ มอบหมายช นท, และ ให ก บพน กคนท, และ ตามล าด บ

5 78 โดยม ค าใช จ ายท งหมดเป นจ านวน = 0 พ นบาท ต วอย างท. โรงแห งหน งม อย ช น ซ งจะต องจ ดไปท าท เคร องจ กรท ม เคร อง ด วยก น ค าใช จ าย (หน วยเป นแสนบาท) ในการท แต ละช น ท าท เคร องจ กรแต ละเคร องน น แสดงในตารางต อไปน เคร องจ กร น อยท ส ด จงหาว าทางโรงควรจะจ ดไปท าท เคร องจ กรอย างไร โดยให ค าใช จ ายท งหมดม ค า ว ธ ท า จากข อม ลในตารางจะเห นได ว า ช นท น นไม สามารถไปท าบนเคร องจ กรท ได ด งน น จ งก าหนดให ค าใช จ ายท ต าแหน งน นให ม ค าเป น M โดยท M หมายถ งค าท เป นบวกมาก ๆ จากน นใช ว ธ ฮ งกาเร ยนในการหาค าตอบ โดยการน าเอาคงท ท น อยท ส ดในแต ละแถว ลบออกจากค าใช จ ายท กต ว ในแต ละแถว และเอาค าคงท ท น อยท ส ดของแต ละหล กลบออกจากค าใช จ ายท กต วในแต ละหล ก ด งใน ตาราง เคร องจ กร 0 6 M q = 0 q = 0 q = 0 q = 0 p = p = p = p = 8 จะเห นได ว าตารางด งกล าวเป นตารางของค าตอบท ด ท ส ดแล ว โดยท จะจ ดช นท,, และ ไปท าท เคร องจ กรท,, และ ตามล าด บ โดยม ค าใช จ ายท งหมดเท าก บ = แสนบาท

6 79 ต วอย างท. บร ษ ทร บเหมาก อสร างแห งหน ง ม โครงการก อสร างท ต องท าให เสร จอย 5 โครงการ และบร ษ ทม ว ศวกรท ท าหน าท ควบค มการก อสร าง 5 คน ค าใช จ ายท ทางบร ษ ทต องจ ายให ก บว ศวกรแต ละคน (หน วยเป นแสนบาท) ส าหร บแต ละโครงการ แสดงในตาราง จงหาว าทางบร ษ ทควรจะจ ด ว ศวกรให ไปท าแต ละโครงการอย างไร จ งจะเส ยค าใช จ ายน อยท ส ด ว ศวกร 5 โครงการ ว ธ ท า จากการใช ว ธ ฮ งกาเร ยนจะได ผลล พธ ด งตาราง โครงการ 5 ว ศวกร p = p = 5 p = 0 p = p 5 = q = q 5 = q = จากตารางจะเห นได ถ งแม ได ใช ว ธ ฮ งกาเร ยนแล วน น ก ย งไม สามารถท จะจ ดว ศวกรให ไป ท าในโครงการต าง ๆ ได ด งน นจ งได ม การพ ฒนาเทคน คว ธ ฮ งกาเร ยนเด ม เพ อให สามารถหา ค าตอบท ด ท ส ดให ได โดยการเพ มข นตอนด งต อไปน ข นตอนท ให ลากเส นตรงให น อยท ส ดในแนวแถว หร อแนวหล กของตารางค าใช จ ายท ได จากว ธ ฮ งกาเร ยนข นต น โดยให ผ านค าศ นย ท กต ว ถ าจ านวนเส นตรงด งกล าวเท าก บจ านวนของแถว

7 80 หร อหล กแสดงว าตารางของค าใช จ ายน นเป นตารางค าตอบท ด ท ส ดแล ว แต ถ าไม เท าก ให ท าต อใน ข นตอนท ข นตอนท เล อกค าท น อยท ส ดของค าใช จ ายในตารางท เส นตรงไม ได ลากผ าน ไปลบ ออกจากค าของค าใช จ ายท กต วท เส นตรงไม ได ลากผ าน แต น าไปบวกก บค าใช จ ายท เป นจ ดต ดของ เส นตรงด งกล าว จากน นกล บไปข นตอนท ด งน นจากต วอย างท. ลากเส นตรงในแถว และหล กของตารางค าใช จ ายด งกล าว โดย ให ผ านค าใช จ ายท เป นศ นย ท กต ว และม จ านวนเส นตรงน อยท ส ด ผลท ได แสดงในตาราง โครงการ 5 ว ศวกร ซ งจะเห นได ว าใช จ านวนเส นตรงเพ ยง เส นเท าน น แสดงว าย งไม ได ค าตอบท ด ท ส ด ด งน น เล อกค าท น อยท ส ดของค าใช จ ายในตารางท เส นตรงไม ได ลากผ านซ งเท าก บ และน าไปลบ ออกจากค าใช จ ายท กต วท เส นตรงไม ได ลากผ าน แต น าไปบวกก บค าใช จ ายท เป นจ ดต ดของเส นตรง ด ง แสดงในตาราง โครงการ 5 ว ศวกร

8 ลากเส นตรงให น อยท ส ดโดยให ผ านค าท เป นศ นย ท กต วอ กคร งหน ง ผลท ได ค อใช เส นตรง เท าก บ เส น ด งน นท าในข นตอนเด มอ กคร งหน ง ผลท ได ด งตาราง โครงการ 5 8 ว ศวกร จากน นลากเส นตรงใหม โดยให ผ านเลขศ นย ท กต ว และใช เส นตรงให น อยท ส ด จะได จ านวนเส นตรงเท าก บ 5 เส น น นหมายความว าตารางด งกล าวเป นตารางของค าตอบท ด ท ส ดแล วน นค อ จ ดว ศวกรคนท,,, และ 5 ไปท าท โครงการ,, 5, และ ตามล าด บ โดยม ค าใช จ ายรวมท งส นเท าก บ = 8 แสนบาท ต วอย างท. โรงแห งหน งม ท จะต องท าอย ช น แต ทางโรงได ว าจ างคน คนมา ก อนล วงหน าแล ว ค าใช จ าย (หน วยเป นพ นบาท) ของการท คนแต ละคนท าแต ละช นแสดงใน ตาราง คน จงหาว าทางโรงควรจะจ ดให ก บคนอย างไร จ งจะม ค าใช จ ายน อยท ส ดถ า ก. ไม ม ค าใช จ ายใด ๆ ถ าคนไม ได ท า ข. ต องจ ายเง นชดเชยให ก บคนท ไม ได ท า ท งน ค าชดเชยส าหร บคนแต ละคน ไม เท าก น กล าวค อต องจ ายให ก บคนคนท,, และ เป นจ านวน 5 พ นบาท 5 พ นบาท 8 พ นบาท และ 9 พ นบาท ตามล าด บ

9 8 ว ธ ท า ก. เน องจากต วแบบน ไม สมด ล จ งเพ มสมม ต เพ อให ต วแบบสมด ลเส ยก อน ท งน เน องจาก ไม ม ค าใช จ ายใด ๆ ถ าคนไม ได ท า จ งก าหนดให ค าใช จ ายในแถวของสมม ต () น ม ค าเป น ศ นย ท กต วในแถวน นด งแสดงในตาราง คน จากน นใช ว ธ ฮ งกาเร ยนจะได ผลล พธ ด งตาราง คน p = 0 p = 0 p = เห นได ว า ตารางด งกล าวเป นตารางของค าตอบท ด ท ส ดแล ว น นค อมอบหมายท, และ ให คนท, และ ตามล าด บ โดยม คนท ไม ได ร บท า และค าใช จ ายรวมท งส นเท าก บ = พ นบาท ข. เช นเด ยวก บข อ ก. เพ มสมม ต () เพ อให ต วแบบสมด ล จากน นก าหนดให ค าใช จ ายใน แถวของสมม ต น ด วยค าชดเชยท เม อพน กไม ได ร บน น ด งแสดงในตาราง

10 8 คน คน คน

11 8 จากน นใช ว ธ ฮ งกาเร ยนจะได ผลล พธ ด งตาราง คน p = 0 p = 0 p = p = 5 เห นได ว าย งไม สามารถมอบหมายได ซ งจากการใช ข นตอนของฮ งกาเร ยน ผลท ได ด งตาราง q = คน จากน นเอาค า ท เป นค าท น อยท ส ดในตารางท เส นตรงไม ได ลากผ าน ไปลบก บค าท กต วท เส นตรง ไม ได ลากผ าน แต ไปบวกก บตรงจ ดต ดของเส นตรง ผลท ได ด งตาราง คน

12 จะเห นได ว า ตารางด งกล าวเป นตารางของค าตอบท ด ท ส ดแล ว น นค อมอบหมายท, และ ให คนท, และ ตามล าด บ และจ ายค าชดเชยให ก บพน กคนท โดยม ค าใช จ ายรวมท งส นเท าก บ = 5 พ นบาท. ต วแบบการมอบหมาย ในแบบการหาค าส งส ด ในบางคร ง การมอบหมายให พน กน นอาจเปล ยนแปลงไปได ถ าจ ดประสงค ของ การมอบหมายไม ใช เพ อท จะให ค าใช จ ายน อยท ส ด แต เป นในล กษณะท จะมอบหมายเพ อให เก ดผลก าไรมากท ส ด ด งน นจ ดประสงค ของต วแบบป ญหาการจ ดน จ งเปล ยนเป น การหาค าส งส ด Z = ภายใต ข อจ าก ด i i x ij i j c ij x ij =, i =,,, x ij =, j =,,, x ij = 0 หร อ โดยท ค าของ c ij หมายถ งผลก าไรจากการจ ดท i ให ก บพน กท j ในร ปแบบของป ญหาการหาค าส งส ดน สามารถด ดแปลงให เป นร ปแบบของการหาค า ต าส ดได โดยอาศ ยหล กการท ว า ค าส งท ส ดของ Z = (-) * ค าน อยท ส ดของ (-Z) และน นหมายถ ง สามารถน าเอาว ธ การฮ งกาเร ยนเข ามาประย กต ใช ได เช นก น เป นแต เพ ยงค าของ c ij ท หมายถ งผลก าไร น นจะเปล ยนเป น -c ij ต วอย างท.5 บร ษ ทแห งหน งม ต าแหน งว างอย ต าแหน ง และม ผ มาสม ครท า คน ทาง บร ษ ทจ งท าการทดสอบผ สม ครด งกล าว โดยให ทดลองปฏ บ ต ในแต ละต าแหน ง ซ งทางบร ษ ทได ให คะแนนการท าของผ สม ครแต ละคน ในต าแหน งต าง ๆ ด งในตาราง จงหาว าบร ษ ทควรเล อก ผ สม ครเข าท าอย างไร โดยให คะแนนรวมการท ามากท ส ด 85

13 86 ผ สม คร ต าแหน ง ว ธ ท า เน องจากป ญหาน เป นการมอบหมายท เป นการหาค าส งส ด ด งน นเพ อท จะใช แนวความค ด ของฮ งกาเร ยนจ งเปล ยนค าของ c ij ในตารางข างต นเป น -c ij ด งแสดงในตาราง ต าแหน ง ผ สม คร จากการใช ว ธ ฮ งกาเร ยน ได ผลด งในตาราง ต าแหน ง ผ สม คร p = -9 p = -8 p = -7 p = -7

14 87 ตารางด งกล าวเป นตารางของค าตอบท ด ท ส ดแล ว น นค อจ ดให ผ สม ครคนท,, และ ท าในต าแหน งท,, และ ตามล าด บ โดยม คะแนนรวมส งส ดเท าก บ = คะแนน. บทสร ป ต วแบบการมอบหมายเป นอ กต วแบบหน งท จ ดได ว าเป นต วแบบการโปรแกรมเช ง เส น และเป นต วแบบการขนส ง ซ งได พ ฒนาข นตอนการหาค าตอบของต วแบบข นมาโดยเฉพาะ เป น ข นตอนว ธ ท ง าย และไม ซ บซ อน แต สามารถน าไปใช ในการหาค าตอบของต วแบบได อย างม ประส ทธ ภาพ อย างไรก ตาม ว จ ยท เก ยวข องก บการน าต วแบบการมอบหมายน ไปประย กต ใช ย งม ไม มากน กเม อเท ยบก บต วแบบการโปรแกรมเช งเส น หร อต วแบบการขนส ง

15 88 แบบฝ กห ด. จงหาค าตอบจากต วแบบการมอบหมาย จากตารางค าใช จ ายต อไปน. พน ก พน ก โรงแห งหน งม ท ต องท าอย ช น และม เคร องจ กรท ใช ในการท า เคร อง ค าใช จ าย (หน วยเป นพ นบาท) ในการท าแต ละช นของเคร องจ กรแต ละเคร องแสดงในตาราง จงหาว าควร จ ดให ก บเคร องจ กรอย างไร จ งจะท าให ค าใช จ ายท งหมดม ค าน อยท ส ด เคร องจ กร

16 . บร ษ ทร บเหมาก อสร างแห งหน ง ม โครงการก อนสร างอย โครงการ แต บร ษ ทม ว ศวกรท ท าหน าท ควบค มการก อสร าง คน ค าใช จ ายท ทางบร ษ ทต องจ ายให ก บว ศวกรแต ละคน (หน วยเป นแสน บาท) ส าหร บแต ละโครงการ แสดงในตารางต อไปน 89 ว ศวกร โครงการ จงหาว าทางบร ษ ทจะจ ดว ศวกรคนใดท าโครงการใด จ งจะเส ยค าใช จ ายท งหมดน อยท ส ด ถ า ก. บร ษ ทไม ม ค าใช จ ายใด ๆ ถ าว ศวกรไม ได ท า ข. บร ษ ทต องเส ยค าใช จ ายเน องจากว ศวกรไม ได ท าเป นจ านวน 8 แสนบาท 9 แสนบาท 5 แสนบาท และ 6 แสนบาท ส าหร บว ศวกรคนท,, และ ตามล าด บ. บร ษ ทแห งหน ง ร บด าเน นต ดต งเคร องจ กร ให ก บโรง ถ าบร ษ ทม เคร องจ กรอย เคร อง แต ม โรงท ต องการต ดต งเคร องจ กรอย 5 โรง ค าใช จ าย (หน วยเป นพ นบาท) ในการต ดต ง เคร องจ กรแต ละเคร องส าหร บโรงแต ละโรง แสดงในตารางต อไปน เคร องจ กร โรง จงหาว าทางบร ษ ทควรต ดต งเคร องจ กรให ก บโรงอย างไร จ งจะม ค าใช จ ายท งหมดน อย ท ส ด และถ าบร ษ ทจะต องถ กปร บ เพราะไม สามารถต ดต งเคร องจ กร ให ก บโรงท,,,

17 และ 5 เป นจ านวนเง น 0,000 บาท 9,000 บาท 0,000 บาท,000 บาท และ,000 บาท ตามล าด บ บร ษ ทควรต ดต งเคร องจ กรอย างไร 5. จากข อ จงหาค าตอบจากต วแบบการมอบหมาย ถ าตารางในข อ. และ. เป นตารางของ ผลก าไรจากการมอบหมายให ก บพน ก 6. บร ษ ทแห งหน งม พน กขายอย คน และม เขตการขาย เขต ทางบร ษ ทต องการท จะจ ด พน กขายเข าไปประจ าในเขตการขาย จากประสบการณ ในอด ต พบว าก าไร (หน วยเป นพ น บาท) ท พน กขายแต ละคนท าให ก บบร ษ ทเม อประจ าอย ในแต ละเขต ด งแสดงในตารางต อไปน 90 พน กขาย เขตการขาย จงหาว าบร ษ ทควรจะจ ดพน กขาย เข าไปประจ าในแต ละเขตการขายอย างไร จ งจะเก ดผล ก าไรรวมมากท ส ด